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祖冲之

祖冲之

祖冲之( 公元429年─公元500年)是我国杰出的数学家,科学家。南北朝时期人,汉族人,字文远。生于宋文帝元嘉六年,卒于齐昏侯永元二年。祖籍范阳郡遒县(今河北涞水县)。为避战乱,祖冲之的祖父祖昌由河北迁至江南。祖昌曾任刘宋的“大匠卿”,掌管土木工程;祖冲之的父亲也在朝中做官。祖冲之从小接受家传的科学知识。青年时进入华林学省,从事学术活动。一生先后任过南徐州(今镇江市)从事史、公府参军、娄县(今昆山市东北)令、谒者仆射、长水校尉等官职。其主要贡献在数学、天文历法和机械三方面。

祖冲之生于建康(今南京)。祖家历代都对天文历法素有研究,祖冲之从小就有机会接触天文、数学知识。祖冲之青年时,就得到博学多才的名声,宋孝武帝听说后,派他到“华林学省”做研究工作。461年,他在南徐州(今江苏镇江)刺史府里从事,先后任南徐州从事史、公府参军。公元464年他调至娄县(今江苏昆山东北)任县令。在此期间他编制了《大明历》,计算了圆周率。宋朝末年,祖冲之回到建康任谒者仆射,此后直到宋灭亡一段时间后,他花了较大精力来研究机械制造。494年到498年之间,他在南齐朝廷担任长水校尉一职,受四品俸禄。鉴于当时战火连绵,他写有《安边论》一文,建议朝廷开垦荒地,发展农业,安定民生,巩固国防。祖冲之在他72岁时去世。

祖冲之的主要成就在数学、天文历法和机械制造三个领域。此外历史记载祖冲之精通音律,擅长下棋,还写有小说《述异记》。祖冲之著述很多,但大多都已失传。

祖冲之的儿子祖暅之也是数学家。

为纪念祖冲之,人们将月球背面的一座环形山命名为“祖冲之环形山”,将小行星1888命名为“祖冲之小行星”,上海浦东张江高科技园区内有一条城市道路命名为“祖冲之路”。

祖冲之

 

简介

 

祖冲之是我国杰出的数学家、天文学家、文学家、地质学家、地理学家和科学家。南北朝时期人,汉族,字文远。生于宋文帝元嘉六年,卒于齐昏侯永元二年。祖籍范阳郡遒县(今河北涞水县),为避战乱,祖冲之的祖父祖昌由河北迁至江南。祖昌曾任刘宋的“大匠卿”,掌管土木工程,祖冲之的父亲也在朝中做官。

祖冲之,在世界数学史上第一次将圆周率(π)值计算到小数点后七位,即3.1415926到3.1415927之间。他提出约率22/7和密率355/113,这一密率值是世界上最早提出的,比欧洲早一千多年,所以有人主张叫它“祖率”也就是圆周率的祖先。他将自己的数学研究成果汇集成一部著作,名为《缀术》,唐朝国学曾经将此书定为数学课本。他编制的《大明历》,第一次将“岁差”引进历法。提出在391年中设置144个闰月。推算出一回归年的长度为365.24281481日,误差只有50秒左右。他不仅是一位杰出的数学家和天文学家,而且还是一位杰出的机械专家。重新造出早已失传的指南车、千里船等巧妙机械多种。此外,他对音乐也有研究。著作有《释论语》、《释孝经》、《易义》、《老子义》、《庄子义》及小说《述异记》等,但早已失传。

祖冲之

 

历任职务

 

祖冲之从小接受家传的科学知识,青年时进入华林学省,从事学术活动。一生先后任过南徐州(今镇江市)从事史、公府参军、娄县(今昆山市东北)令、谒者仆射、长水校尉等官职。其主要贡献在数学、天文历法和机械三方面。

《九章算术》

 

数学成就

 

他写的《缀术》一书,被收入著名的《算经十书》中,作为唐代国子监算学课本,可惜后来失传了。《隋书·律历志》留下一小段关于圆周率(π)的记载,祖冲之算出π的真值在3.1415926和3.1415927之间,相当于精确到小数第7位,简化成3.1415926,成为当时世界上最先进的成就。祖冲之入选中国世界纪录协会世界第一位将圆周率值计算到小数第7位的科学家,创造了中国纪协世界之最。这一纪录直到15世纪才由阿拉伯数学家卡西打破。 祖冲之还给出π的两个分数形式:22/7(约率)和355/113(密率),其中密率精确到小数第7位,在西方直到16世纪才由荷兰数学家奥托重新发现。祖冲之还和儿子祖暅一起圆满地利用「牟合方盖」解决了球体积的计算问题,得到正确的球体积公式。

圆周率背诵世界记录的趋势

 

背诵π的位数

 

圆周率背诵世界记录的趋势世界记录是100000位,日本人原口证于2006年10月3日背诵圆周率π至小数点后100000位。

普通话用谐音记忆的有“山巅一寺一壶酒,尔乐苦煞吾,把酒吃,酒杀尔,杀不死,乐而乐”,就是3.1415926535897932384626。

在英文,会使用英文字母的长度作为数字,例如“How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics. All of thy geometry, Herr Planck, is fairly hard, and if the lectures were boring or tiring, then any odd thinking was on quartic equations again.”就是3.1415926535897932384626433832795。

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天文历法

 

祖冲之创制了《大明历》,最早将岁差引进历法;采用了391年加144个闰月的新闰周;首次精密测出交点月日数(27.21223),回归年日数(365.2428)等数据,还发明了用圭表测量冬至前后若干天的正午太阳影长以定冬至时刻的方法。祖冲之在天文历法方面的成就,大都包含在他所编制的《大明历》及为大明历所写的驳议中。

在祖冲之之前,人们使用的历法是天文学家何承天编制的《元嘉历》。祖冲之经过多年的观测和推算,发现《元嘉历》存在很大的差误。于是祖冲之着手制定新的历法,宋孝武帝大明六年(公元462年)他编制成了《大明历》。大明历在祖冲之生前始终没能采用,直到梁武帝天监九年(公元510年)才正式颁布施行。《大明历》的主要成就如下:

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区分了回归年和恒星年,首次把岁差引进历法,测得岁差为45年11月差一度(今测约为70.7年差一度)。岁差的引入是中国历法史上的重大进步。

定一个回归年为365.24281481日(今测为365.24219878日),直到南宋宁宗庆元五年(公元1199年)杨忠辅制统天历以前,它一直是最精确的数据。

采用391年置144闰的新闰周,比以往历法采用的19年置7闰的闰周更加精密。

定交点月日数为27.21223日(今测为27.21222日)。交点月日数的精确测得使得准确的日月食预报成为可能,祖冲之曾用大明历推算了从元嘉十三年(公元436年)到大明三年(公元459年),23年间发生的4次月食时间,结果与实际完全符合。

得出木星每84年超辰一次的结论,即定木星公转周期为11.858年(今测为11.862年)。

给出了更精确的五星会合周期,其中水星和木星的会合周期也接近现代的数值。

提出了用圭表测量正午太阳影长以定冬至时刻的方法。

指南车

 

机械制造

 

他设计制造过水碓磨、铜制机件传动的指南车、千里船、定时器等等。此外,他在音律、文学、考据方面也有造诣,他精通音律,擅长下棋,还写有小说《述异记》。是历史上少有的博学多才的人物。

为纪念这位伟大的古代科学家,人们将月球背面的一座环形山命名为“祖冲之环形山”,把小行星1888命名为“祖冲之小行星”。

祖冲之

 

生平

 

公元42O年东晋灭亡到589年,隋朝统一全国后的一百七十年中间,中国历史上形成了南北对立的局面,这一时期称作南北朝。南朝从公元42O年东晋大将刘裕夺取帝位,建立宋政权开始,经历了宋、齐、梁、陈四个朝代。同南朝对峙的是北朝,北朝经历了北魏、东魏、西魏,北齐、北周等朝代。祖冲之是南朝人,出生在宋,死的时候已是南齐时期了。

当时由于南朝社会比较安定,农业和手工业都有显著的进步,经济和文化得到了迅速发展,从而也推动了科学的前进。因此,在这一段时期内,南朝出现了一些很有成就的科学家,祖冲之就是其中最杰出的人物之一。

祖冲之的原籍是范阳郡遒县(今河北涞水县)。在西晋末年,祖家由于故乡遭到战争的破坏,迁到江南居住。祖冲之的祖父祖昌,曾在宋朝政府里担任过大匠卿,负责主持建筑工程,是掌握了一些科学技术知识的;同时,祖家历代对于天文历法都很有研究。因此祖冲之从小就有接触科学技术的机会。

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祖冲之对于自然科学和文学、哲学都有广泛的兴趣,特别是对天文、数学和机械制造,更有强烈的爱好和深入的钻研。

早在青年时期,他就有了博学多才的名声,并且被政府派到当时的一个学术研究机关——华林学省,去做研究工作。后来他又担任过地方官职。公元461年,他任南徐州(今江苏镇江)刺史府里的从事。464年,宋朝政府调他到娄县(今江苏昆山县东北)作县令。

祖冲之在这一段期间,虽然生活很不安定,但是仍然继续坚持学术研究,并且取得了很大的成就。他研究学术的态度非常严谨。他十分重视古人研究的成果,但又决不迷信古人。用他自己的话来说,就是:决不“虚推(盲目崇拜)古人”,而要“搜炼古今(从大量的古今著作中吸取精华)”。一方面,他对于古代科学家刘歆〔xin欣〕、张衡、阚[kan看]泽、刘徽、刘洪等人的著述都作了深入的研究,充分吸取其中一切有用的东西。另一方面,他又敢于大胆怀疑前人在科学研究方面的结论,并通过实际观察和研究,加以修正补充,从而取得许多极有价值的科学成果。在天文历法方面,他所编制的《大明历》,是当时最精密的历法。在数学方面,他推算出准确到六位小数的圆周率,取得了当时世界上最优秀的成绩。

宋朝末年,祖冲之回到建康(今南京),担任谒者仆射的官职。从这时起,一直到齐朝初年,他花了较大的精力来研究机械制造,重造指南车,发明千里船、水碓磨等等,作出了出色的贡献。

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当祖冲之晚年的时候,齐朝统治集团发生了内乱,政治腐败黑暗,人民生活非常痛苦。北朝的魏乘机发大兵向南进攻。

从公元494年到5O0年间,江南一带又陷入战火。对于这种内忧外患重重逼迫的政治局面,祖冲之非常关心。大约在公元494年到498年之间,他担任长水校尉的官职。当时他写了一篇《安边论》,建议政府开垦荒地,发展农业,增强国力,安定民生,巩固国防。齐明帝看到了这篇文章,打算派祖冲之巡行四方,兴办一些有利于国计民生的事业。但是由于连年战争,他的建议始终没有能够实现。过不多久,这位卓越的大科学家活到七十二岁,就在公元50O年的时候去世了。

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贡献

 

完善历法

 

中国古代劳动人民,由于畜牧业和农业生产的需要,经过长时期的观察,发现了日月运行的基本规律。他们把第一次月圆或月缺到第二次月圆或月缺的一段时间规定为一个月,每个月是二十九天多一点,十二个月称为一年。这种计年方法叫做阴历。他们又观察到:从第一个冬至到下一个冬至(实际上就是地球围绕太阳运行一周的时间)共需要三百六十五天又四分之一天,于是也把这一段时间称作一年。按照这种办法推算的历法通常叫做阳历。但是,阴历一年和阳历一年的天数,并不恰好相等。按照阴历计算,一年共计三百五十四天;按照阳历计算,一年应为三百六十五天五小时四十八分四十六秒。阴历一年比阳历一年要少十一天多。为了使这两种历法的天数一致起来,就必须想办法调整阴历一年的天数。对于这个问题,我们的祖先很早就找到了解决的办法,就是采用“闰月”的办法。在若干年内安排一个闰年,在每个闰年中加入一个闰月。每逢闰年,一年就有十三个月。由于采用了这种闰年的办法,阴历年和阳历年就比较符合了。

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在古代,我国历法家一向把十九年定为计算闰年的单位,称为“一章”,在每一章里有七个闰年。也就是说,在十九个年头中,要有七个年头是十三个月。这种闰法一直采用了一千多年,不过它还不够周密、精确。公元412年,北凉赵厞创作《元始历》,才打破了岁章的限制,规定在六百年中间插入二百二十一个闰月。可惜赵厞的改革没有引起当时人的注意,例如著名历算家何承天在公元443年制作《元嘉历》时,还是采用十九年七闰的古法。

祖冲之吸取了赵厞的先进理论,加上他自己的观察,认为十九年七闰的闰数过多,每二百年就要差一天,而赵厞六百年二百二十一闯的闰数却又嫌稍稀,也不十分精密。因此,他提出了三百九十一年内一百四十四闰的新闰法。这个闰法在当时算是最精密的了。

除了改革闰法以外,祖冲之在历法研究上的另一重大成就,是破天荒第一次应用了“岁差。”

根据物理学原理,刚体在旋转运动时,假如丝毫不受外力的影响,旋转的方向和速度应该是一致的;如果受了外力影响,它的旋转速度就要发生周期性的变化。地球就是一个表面凹凸不平、形状不规则的刚体,在运行时常受其他星球吸引力的影响,因而旋转的速度总要发生一些周期性的变化,不可能是绝对均匀一致的。因此,每年太阳运行一周(实际上是地球绕太阳运行一周),不可能完全回到上一年的冬至点上,总要相差一个微小距离。按现在天文学家的精确计算,大约每年相差50.2秒,每七十一年八个月向后移一度。这种现象叫作岁差。

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随着天文学的逐渐发展,我国古代科学家们渐渐发现了岁差的现象。西汉的邓平、东汉的刘歆、贾逵等人都曾观测出冬至点后移的现象,不过他们都还没有明确地指出岁差的存在。到东晋初年,天文学家虞喜才开始肯定岁差现象的存在,并且首先主张在历法中引入岁差。他给岁差提出了第一个数据,算出冬至日每五十年退后一度。后来到南朝宋的初年,何承天认为岁差每一百年差一度,但是他在他所制定的《元嘉历》中并没有应用岁差。祖冲之继承了前人的科学研究成果,不但证实了岁差现象的存在,算出岁差是每四十五年十一个月后退一度,而且在他制作的《大明历》中应用了岁差。因为他所根据的天文史料都还是不够准确的,所以他提出的数据自然也不可能十分准确。尽管如此,祖冲之把岁差应用到历法中,在天文历法史上却是一个创举,为我国历法的改进揭开了新的一页。到了隋朝以后,岁差已为很多历法家所重视了,像隋朝的《大业历》、《皇极历》中都应用了岁差。

祖冲之

祖冲之在历法研究方面的第三个巨大贡献,就是能够求出历法中通常称为“交点月”的日数。

所谓交点月,就是月亮连续两次经过“黄道”和“白道”的交叉点,前后相隔的时间。黄道是指我们在地球上的人看到的太阳运行的轨道,白道是我们在地球上的人看到的月亮运行的轨道。交点月的日数是可以推算得出来的。祖冲之测得的交点月的日数是27.21223日,比过去天文学家测得的要精密得多,同近代天文学家所测得的交点月的日数27.21222日已极为近似。在当时天文学的水平下,祖冲之能得到这样精密的数字,成绩实在惊人。

由于日蚀和月蚀都是在黄道和白道交点的附近发生,所以推算出交点月的日数以后,就更能准确地推算出日蚀或月蚀发生的时间。祖冲之在他制订的《大明历》中,应用交点月推算出来的日、月蚀时间比过去准确,和实际出现日、月蚀的时间都很接近。

祖冲之根据上述的研究成果,终于成功制成了当时最科学、最进步的历法——《大明历》。这是祖冲之科学研究的天才结晶,也是他在天文历法上最卓越的贡献。

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此外,祖冲之对木、水、火、金、土等五大行星在天空运行的轨道和运行一周所需的时间,也进行了观测和推算。我国古代科学家算出木星(古代称为岁星)每十二年运转一周。西汉刘歆作《三统历》时,发现木星运转一周不足十二年。祖冲之更进一步,算出木星运转一周的时间为11.858年。现代科学家推算木星运行的周期约为 11. 862年。祖冲之算得的结果,同这个数字仅仅相差0.04年。此外,祖冲之算出水星运转一周的时间为115.88日,这同近代天文学家测定的数字在两位小数以内完全一致。他算出金星运转一周的时间为583.93日,同现代科学家测定的数字仅差0.01日。

公元462年(宋大明六年),祖冲之把精心编成的《大明历》送给政府,请求公布实行。宋孝武帝命令懂得历法的官员对这部历法的优劣进行讨论。在讨论过程中,祖冲之遭到了以戴法兴为代表的守旧势力的反对。戴法兴是宋孝武帝的亲信大臣,很有权势。由于他带头反对新历,朝廷大小官员也随声附和,大家不赞成改变历法。

祖冲之

祖冲之为了坚持自己的正确主张,理直气壮地同戴法兴展开了一场激烈的辩论。

这一场关于新历法优劣的辩论,实际上反映了当时科学和反科学、进步和保守两种势力的尖锐斗争。戴法兴首先上书皇帝,从古书中抬出古圣先贤的招牌来压制祖冲之。他说,冬至时的太阳总在一定的位置上,这是古圣先贤测定的,是万世不能改变的。他说,祖冲之以为冬至点每年有稍微移动,是诬蔑了天,违背了圣人的经典。是一种大逆不道的行为。他又把当时通行的十九年七闰的历法,也说是古圣先贤所制定,永远不能更改。他甚至骂祖冲之是浅陋的凡夫俗子,没有资格谈改革历法。

祖冲之对权贵势力的攻击丝毫没有惧色。他写了一篇有名的驳议。他根据古代的文献记载和当时观测太阳的记录,证明冬至点是有变动的。他指出:事实十分明白,怎么可以信古而疑今。他又详细地举出多年来亲自观测冬至前后各天正午日影长短的变化,精确地推算出冬至的日期和时刻,从此说明十九年七闰是很不精密的。他责问说:“旧的历法不精确,难道还应当永远用下去,永远不许改革?谁要说《大明历》不好,应当拿出确凿的证据来。如果有证据,我愿受过。”

祖冲之

当时戴法兴指不出新历到底有哪些缺点,于是就争论到日行快慢、日影长短、月行快慢等等问题上去。祖冲之一项一项地据理力争,都驳倒了他。

在祖冲之理直气壮的驳斥下,戴法兴没话可以答辩了,竟蛮不讲理地说:“新历法再好也不能用。”祖冲之并没有被戴法兴这种蛮横态度吓倒,却坚决地表示:“决不应该盲目迷信古人。既然发现了旧历法的缺点,又确定了新历法有许多优点,就应当改用新的。”

在这场大辩论中,许多大臣被祖冲之精辟透彻的理论说服了,但是他们因为畏惧戴法兴的权势,不敢替祖冲之说话。最后有一个叫巢尚之的大臣出来对祖冲之表示支持。他说《大明历》是祖冲之多年研究的成果,根据《大明历》来推算元嘉十三年(436)、十四年(437)、二十八年(451)、大明三年(459)的四次月蚀都很准确,用旧历法推算的结果误差就很大,《大明历》既然由事实证明比较好,就应当采用。

这样一来,戴法兴只有哑口无言。祖冲之取得了最后胜利。宋孝武帝决定在大明九年(465)改行新历。谁知大明八年孝武帝死了,接着统治集团内发生变乱,改历这件事就被搁置起来。一直到梁朝天监九年(51O),新历才被正式采用,可是那时祖冲之已去世十年了。

两圆

 

精算圆周率

 

下面一大一小两个圆,光凭肉眼看,你能说出哪一个的 周长/直径 之比更大吗?许多年前,小学数学老师说所有的圆周长和直径的比值是一样的。我信了,可是很长时间都不明白为什么。而且,即使明白了,又该如何去计算这个值是多少呢?

在我想出一个方法之前,很不幸地被历史老师提前告知了正确答案:咱老祖宗早就研究过这个了。怎么样,这个老头很眼熟吧,教室的墙上经常可以见到他。这是世界上第一个把圆周率精确到小数点后第6位的祖冲之,这纪录保持了上千年,才被欧洲人打破。哇,那他是怎么算的呢?——历史老师好像对这个不太感兴趣。

后来才知道,祖冲之的算法仍然是个未决的悬案。古书的记载只有《隋书·律历志》中一段文字:“宋末,南徐州从事史祖冲之,更开密法,以圆径一亿为一丈,圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽,朒数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽,正数在盈朒二限之间。密率,圆径一百一十三,圆周三百五十五。约率,圆径七,周二十二。”也就是说,人们只知道祖冲之给出了圆周率介于3.1415926和3.1415927之间这个答案,以及两个π的近似数355/113和22/7。其他就没有线索了。

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求算圆周率的值是数学中一个非常重要也是非常困难的研究课题。中国古代许多数学家都致力于圆周率的计算,而公元5世纪祖冲之所取得的成就可以说是圆周率计算的一个跃进。祖冲之经过刻苦钻研,继承和发展了前辈科学家的优秀成果。他对于圆周率的研究,就是他对于我国乃至世界的一个突出贡献。祖冲之对圆周率数值的精确推算值,用他的名字被命名为“祖冲之圆周率”,简称“祖率”。

什么是圆周率呢?圆有它的圆周和圆心,从圆周任意一点到圆心的距离称为半径,半径加倍就是直径。直径是一条经过圆心的线段,圆周是一条弧线,弧线是直线的多少倍,在数学上叫做圆周率。简单说,圆周率就是圆的周长与它直径之间的比,它是一个常数,用希腊字母“π”来表示,为算式355÷113所得。在天文历法方面和生产实践当中,凡是牵涉到圆的一切问题,都要使用圆周率来推算。

如何正确地推求圆周率的数值,是世界数学史上的一个重要课题。我国古代数学家们对这个问题十分重视,研究也很早。在《周髀算经》和《九章算术》中就提出径一周三的古率,定圆周率为三,即圆周长是直径长的三倍。此后,经过历代数学家的相继探索,推算出的圆周率数值日益精确。

西汉末年刘歆在为王莽设计制作圆形铜斛(一种量器)的过程中,发现直径为一、圆周为三的古率过于粗略,经过进一步的推算,求得圆周率的数值为3.1547。

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东汉著名科学家张衡推算出的圆周率值为3.162。三国时,数学家王蕃推算出的圆周率数值为3.155。魏晋之际的著名数学家刘徽在为《九章算术》作注时创立了新的推算圆周率的方法——割圆术。他设圆的半径为1,把圆周六等分,作圆的内接正六边形,用勾股定理求出这个内接正六边形的周长;然后依次作内接十二边形,二十四边形……,至圆内接一百九十二边形时,得出它的边长和为6.282048,而圆内接正多边形的边数越多,它的边长就越接近圆的实际周长,所以此时圆周率的值为边长除以2,其近似值为3.14;并且说明这个数值比圆周率实际数值要小一些。在割圆术中,刘徽已经认识到了现代数学中的极限概念。他所创立的割圆术,是探求圆周率数值的过程中的重大突破。后人为纪念刘徽的这一功绩,把他求得的圆周率数值称为“徽率”或称“徽术”。

刘徽以后,探求圆周率有成就的学者,先后有南朝时代的何承天,皮延宗等人。何承天求得的圆周率数值为3.1428;皮延宗求出圆周率值为22/7≈3.14。以上的科学家都为圆周率的研究推算做出了很大贡献,可是和祖冲之的圆周率比较起来,就逊色多了。

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祖冲之认为自秦汉以至魏晋的数百年中研究圆周率成绩最大的学者是刘徽,但并未达到精确的程度,于是他进一步精益钻研,去探求更精确的数值。

祖冲之不但精通天文、历法,他在数学方面的贡献,特别对“圆周率”研究的杰出成就,更是超越前代,在世界数学史上放射着异彩。

圆周率是一个永远除不尽的无穷小数,它不能用分数、有限小数或循环小数完全准确地表示出来。由于现代数学的进步,已计算出了小数点后几万位数字的圆周率。

如果一个圆的直径是1,它的圆周便是π

圆周率的应用很广泛。尤其是在天文、历法方面,凡牵涉到圆的一切问题,都要使用圆周率来推算。我国古代劳动人民在生产实践中求得的最早的圆周率值是“ 3”,这当然很不精密,但一直被沿用到西汉。后来,随着天文、数学等科学的发展,研究圆周率的人越来越多了。西汉末年的刘歆首先抛弃“3”这个不精确的圆周率值,他曾经采用过的圆周率是3.547。东汉的张衡也算出圆周率为π=3.1622。这些数值比起π=3当然有了很大的进步,但是还远远不够精密。到了三国末年,数学家刘徽创造了用割圆术来求圆周率的方法,圆周率的研究才获得了重大的进展。

用割圆术来求圆周率的方法,大致是这样:先作一个圆,再在圆内作一内接正六边形。假设这圆的直径是2,那么半径就等于1。内接正六边形的一边一定等于半径,所以也等于1;它的周长就等于6。如果把内接正六边形的周长6当作圆的周长,用直径2去除,得到周长与直径的比π=6/2=3,这就是古代π=3的数值。但是这个数值是不正确的,我们可以清楚地看出内接正六边形的周长远远小于圆周的周长。

祖冲之

如果我们把内接正六边形的边数加倍,改为内接正十二边形,再用适当方法求出它的周长,那么我们就可以看出,这个周长比内按正六边形的周长更接近圆的周长,这个内接正十二边形的面积也更接近圆面积。从这里就可以得到这样一个结论:圆内所做的内接正多边形的边数越多,它各边相加的总长度(周长)和圆周周长之间的差额就越小。从理论上来讲,如果内接正多边形的边数增加到无限多时,那时正多边形的周界就会同圆周密切重合在一起,从此计算出来的内接无限正多边形的面积,也就和圆面积相等了。不过事实上,我们不可能把内接正多边形的边数增加到无限多,而使这无限正多边形的周界同圆周重合。只能有限度地增加内接正多边形的边数,使它的周界和圆周接近重合。所以用增加圆的内接正多边形边数的办法求圆周率,得数永远稍小于π的真实数值。刘徽就是根据这个道理,从圆内接正六边形开始,逐次加倍地增加边数,一直计算到内接正九十六边形为止,求得了圆周率是3.141024。把这个数化为分数,就是157/50。刘徽所求得的圆周率,后来被称为“徽率”。他这种计算方法,实际上已具备了近代数学中的极限概念。这是我国古代关于圆周率的研究的一个光辉成就。祖冲之在推求圆周率方面又获得了超越前人的重大成就。根据《隋书·律历志》的记载,祖冲之把一丈化为一亿忽,以此为直径求圆周率。他计算的结果共得到两个数:一个是盈数(即过剩的近似值),为3.1415927;一个是朒数(即不足的近似值),为3.1415926。圆周率真值正好在盈朒两数之间。《隋书》只有这样简单的记载,没有具体说明他是用什么方法计算出来的。不过从当时的数学水平来看,除刘徽的割圆术外,还没有更好的方法。祖冲之很可能就是采用了这种方法。因为采用刘徽的方法,把圆的内接正多边形的边数增多到24576边时,便恰好可以得出祖冲之所求得的结果。

圆周率

盈朒 两数可以列成不等式,如:3.1415926(*)<π(真实的圆周率)<3.1415927(盈),这表明圆周率应在盈朒 两数之间。按照当时计算都用分数的习惯,祖冲之还采用了两个分数值的圆周率。一个是355/113(约等于3.1415927),这一个数比较精密,所以祖冲之称它为“密率”。另一个是了(约等于3.14),这一个数比较粗疏,所以祖冲之称它为“约率”。在欧洲,直到1573年才由德国数学家渥脱求出了355/113这个数值。因此,日本数学家三上义夫曾建议把355/113这个圆周率数值称为“祖率”,来纪念这位中国的大数学家。由于祖冲之所著的数学专著《缀术》已经失传,《隋书》又没有具体地记载他求圆周率的方法,因此,我国研究祖国数学遗产的专家们,对于他求圆周率的方法还有不同的见解。

有人认为祖冲之圆周率中的“朒数”。是用作圆的内接正多边形的方法求得的;而“盈数”则是用作圆的外切正多边形的方法求得的。祖冲之如果继续用刘徽的办法,从圆的内接正六边形算起,逐次加倍边数,一直算到内接正24576边形时,它的各边长度总和只能逐次接近并较小于圆周的周长,这正多边形的面积也只能逐次接近并较小于圆面积,从此求出的圆周率为3.14159261,也只能小于圆周率的真实数值,这就是朒 数。从祖冲之的数学水平来看,突破刘徽的方法,从外切正六边形算起,逐次试求圆周率,也是可能的。如果祖冲之把外切正六边形的边数成倍增加,到正24576边形时,他所求得的圆周率应该是3.14159270208。这个数是用外切方法求得的。由于外切正多边形各边边长的总和永远大于圆周的长度,这正多边形的面积也永远大于圆面积,所以这个数总比真实的圆周率大。用四舍五入法舍去小数点七位以后的数字,就得出盈数。

祖冲之究竟是否同时用过内接和外切这两个方法求出圆周率的朒数和盈数,是没有确切史料可以证实的。但是采用这个办法所求出的朒、盈两个数值,和祖冲之原来所求出的结果大体是一致的。所以有些数学史家认为祖冲之曾用过作圆的外切正多边形的方法求得圆周率,是很近情理的推想。

但是根据另一些数学史家的研究,盈、朒两数也可以由计算圆内接正12288边形和正24576边形的边长而得出来。不过这种计算比较难懂,这里不说了。

尽管说法有出入,但是祖冲之曾经求得“密率”,并且明确地用上、下两限来说明圆周率这个数值的范围,是可以肯定的。在一千五百年前,他有这样的成就和认识,真值得我们钦佩。

在推算圆周率时,祖冲之付出了不知多少辛勤的劳动。如果从正六边形算起,算到24576边时,就要把同一运算程序反复进行十二次,而且每一运算程序又包括加减乘除和开方等十多个步骤。我们现在用纸笔算盘来进行这样的计算,也是极其吃力的。当时祖冲之进行这样繁难的计算,只能用筹码(小竹棍)来逐步推演。如果头脑不是十分冷静精细,没有坚韧不拔的毅力,是绝对不会成功的。祖冲之顽强刻苦的研究精神,是很值得推崇的。祖冲之死后,他的儿子祖暅(xuan玄)继续父亲的研究,进一步发现了计算圆球体积的方法。

在我国古代数学著作《九章算术》中,曾列有计算圆球体积的公式,但很不精确。刘徽虽然曾经指出过它的错误,但究竟应当怎样计算,他也没有求得解决。经祖暅刻苦钻研,终于找到了正确的计算方法。他所推算出的计算圆球体积的公式是:圆球体积=π/c D(D代表球体直径)。这个公式一直到今天还被人们采用着。

圆周率符号

 

祖冲之与圆周率

 

它研究和计算的结果,证明圆周率应该在3.1415926和3.1415927之间。他成为世界上第一个把圆周率的准确数值计算到小数点以后七位数字的人。直到一千年后,这个记录才被阿拉伯数学家阿尔·卡西和法国数学家维叶特所打破。祖冲之提出的“密率”,也是直到一千年以后,才由德国 称之为“安托尼兹率”,还有别有用心的人说祖冲之圆周率是在明朝末年西方数学传入中国后伪造的。这是有意的捏造。记载祖冲之对圆周率研究情况的古籍是成书于唐代的史书《隋书》,而现传的《隋书》有元朝大德丙午年(公元1306年)的刊本,其中就有和其他现传版本一样的关于祖冲之圆周率的记载,事在明朝末年前三百余年。而且还有不少明朝之前的数学家在自己的著作中引用过祖冲之的圆周率,这些事实都证明了祖冲之在圆周率研究方面卓越的成就。

那么,祖冲之是如何取得这样重大的科学成就呢?可以肯定,他的成就是建立在前人研究的基础之上的。从当时的数学水平来看,祖冲之很可能是继承了刘徽所创立和首先使用的割圆术,并且加以发展,因此获得了超越前人的重大成就。在前面,我们提到割圆术时已经知道了这样的结论:圆内接正n边形的边数越多,各边长的总和就越接近圆周的实际长度。但因为它是内接的,又不可能把边数增加到无限多,所以边长总和永远小于圆周。

祖冲之按照刘徽的割圆术之法,设了一个直径为一丈的圆,在圆内切割计算。当他切割到圆的内接一百九十二边形时,得到了“徽率”的数值。但他没有满足,继续切割,作了三百八十四边形、七百六十八边形……一直切割到二万四千五百七十六边形,依次求出每个内接正多边形的边长。最后求得直径为一丈的圆,它的圆周长度在三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽到三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽之间,上面的那些长度单位我们现在已不再通用,但换句话说:如果圆的直径为1,那么圆周小于3.1415927、大大不到千万分之一,它们的提出,大大方便了计算和实际应用。

祖冲之

要作出这样精密的计算,是一项极为细致而艰巨的脑力劳动。我们知道,在祖冲之那个时代,算盘还未出现,人们普遍使用的计算工具叫算筹,它是一根根几寸长的方形或扁形的小棍子,有竹、木、铁、玉等各种材料制成。通过对算筹的不同摆法,来表示各种数目,叫做筹算法。如果计算数字的位数越多,所需要摆放的面积就越大。用算筹来计算不象用笔,笔算可以留在纸上,而筹算每计算完一次就得重新摆动以进行新的计算;只能用笔记下计算结果,而无法得到较为直观的图形与算式。因此只要一有差错,比如算筹被碰偏了或者计算中出现了错误,就只能从头开始。要求得祖冲之圆周率的数值,就需要对九位有效数字的小数进行加、减、乘、除和开方运算等十多个步骤的计算,而每个步骤都要反复进行十几次,开方运算有50次,最后计算出的数字达到小数点后十六、七位。今天,即使用算盘和纸笔来完成这些计算,也不是一件轻而易举的事。让我们想一想,在一千五百多年前的南朝时代,一位中年人在昏暗的油灯下,手中不停地算呀、记呀,还要经常地重新摆放数以万计的算筹,这是一件多么艰辛的事情,而且还需要日复一日地重复这种状态,一个人要是没有极大的毅力,是绝对完不成这项工作的。

这一光辉成就,也充分反映了我国古代数学高度发展的水平。祖冲之,不仅受到中国人民的敬仰,同时也受到世界各国科学界人士的推崇。1960年,苏联科学家们在研究了月球背面的照片以后,用世界上一些最有贡献的科学家的名字,来命名那上面的山谷,其中有一座环形山被命名为“祖冲之环形山”。

祖冲之在圆周率方面的研究,有着积极的现实意义,适应了当时生产实践的需要。他亲自研究过度量衡,并用最新的圆周率成果修正古代的量器容积的计算。

古代有一种量器叫做“釜”,一般的是一尺深,外形呈圆柱状,那这种量器的容积有多大呢?要想求出这个数值,就要用到圆周率。祖冲之利用他的研究,求出了精确的数值。他还重新计算了汉朝刘歆所造的“律嘉量”(另一种量器,与上面提到的 都是类似于现在我们所用的“升”等量器,但它们都是圆柱体。),由于刘歆所用的计算方法和圆周率数值都不够准确,所以他所得到的容积值与实际数值有出入。祖冲之找到他的错误所在,利用“祖率”校正了数值。为人们的日常生活提供了方便。

以后,人们制造量器时就采用了祖冲之的“祖率”数值。祖冲之在前人的基础上,经过刻苦钻研,反复演算,将圆周率推算至小数点后7位数,并得出了圆周率分数形式的近似值。祖冲之究竟用什么方法得出这一结果,现在无从查考;如果设想他按刘徽的“割圆术”方法去求的话,就要计算到圆内接16000多边形,这需要花费多少时间和付出多么巨大的劳动啊!

祖冲之

据《隋书·律历志》记载,祖冲之以一忽(一丈的一亿分之一)为单位,求直径为一丈的圆的周长,求得盈数为3.1415927、肭数为3.1415926,圆周率的真值介于盈肭两数之间。《隋书》没有具体说明祖冲之是用什么方法计算出盈肭两数的。一般认为,祖冲之采用的是刘徽的割圆术,但也有别的多种猜测。这两个近似值准确到小数第7位,是当时世界上最先进的成就。直到一千多年以后,15世纪阿拉伯数学家卡西和16世纪法国数学家F.韦达才得到更精确的结果。祖冲之确定了π的两个渐近分数,约率22/7和密率355/113。其中密率355/113(≈3.1415929)西方直到16世纪才由德国人V.奥托发现。它是三个成对奇数113355再折两段组成,优美、规整、易记。为了纪念祖冲之的杰出贡献,有些外国数学史家把圆周率π的密率叫做“祖率”。

祖冲之在数学领域的成就,只是中国古代数学成就的一个方面。实际上,14世纪以前中国一直是世界上数学最为发达的国家之一。比如几何中的勾股定理,在中国早期的数学专著《周髀算经》(大约于公元前2世纪成书)中即有论述;成书于公元1世纪的另一本重要的数学专著《九章算术》,在世界数学史上最早提出负数概念及正负数加减法法则;13世纪时,中国就已经有了十次方程的解法,而直到16世纪,欧洲才提出三次方程的解法。

我国古代天文仪器

 

创制机械

 

指南车是一种用来指示方向的车子。车中装有机械,车上装有木人。车子开行之前,先把木人的手指向南方,不论车子怎样转弯,木人的手始终指向南方不变。这种车子结构已经失传,但是根据文献记载,可以知道它是利用齿轮互相带动的结构制成的。相传远古时代黄帝对蚩尤作战,曾经使用过指南车来辨别方向,但这不过是一种传说。根据历史文献记载,三国时代的发明家马钧曾经制造过这种指南车,可惜后来失传了。公元417年东晋大将刘裕(也就是后来宋朝的开国皇帝)进军至长安时,曾获得后秦统治者姚兴的一辆旧指南车,车子里面的机械已经散失,车子行走时,只能由人来转动木人的手,使它指向南方。后来齐高帝萧道成就令祖冲之仿制。祖冲之所制指南车的内部机件全是铜的。制成后,萧道成就派大臣王僧虔、刘休两人去试验,结果证明它的构造精巧,运转灵活,无论怎样转弯,木人的手常常指向南方。

九章算术

当祖冲之制成指南车的时候,北朝有一个名叫索驭驎的来到南朝,自称也会制造指南车。于是萧道成也让他制成一辆,在皇宫里的乐游苑和祖冲之所制造的指南车比赛。结果祖冲之所制的指南车运转自如,索驭驎所制的却很不灵活。索驭驎只得认输,并把自己制的指南车毁掉了。祖冲之制造的指南车,我们虽然已无法看到原物,但是由这件事可以想象,它的构造一定是很精巧的。祖冲之也制造了很有用的劳动工具。他看到劳动人民舂米、磨粉很费力,就创造了一种粮食加工工具,叫作水碓磨。古代劳动人民很早就发明了利用水力着米的水礁和磨粉的水磨。西晋初年,杜预曾经加以改进,发明了“连机碓”和“水转连磨”。一个连机碓能带动好几个石杵一起一落地舂米;一个水转连磨能带动八个磨同时磨粉。祖冲之又在这个基础上进一步加以改进,把水碓和水磨结合起来,生产效率就更加提高了。这种加工工具,现在我国南方有些农村还在使用着。

祖冲之还设计制造过一种千里船。它可能是利用轮子激水前进的原理造成的,一天能行一百多里。

祖冲之还根据春秋时代文献的记载,制了一个“欹器”,送给齐武帝的第二个儿子萧子良。欹器是古人用来警诫自满的器具。器内没有水的时候,是侧向一边的。里面盛水以后,如果水量适中,它就竖立起来;如果水满了,它又会倒向一边,把水泼出去。这种器具,晋朝的学者杜预曾试制三次,都没有成功;祖冲之却仿制成功了。由此可见,祖冲之对各种机械都有深刻的研究。

祖冲之纪念邮票

 

著书缀术

 

祖冲之还曾写过《缀术》五卷,是一部内容极为精采的数学书,很受人们重视。唐朝的官办学校的算学科中规定:学员要学《缀术》四年;政府举行数学考试时,多从《缀术》中出题。《缀术》一书,汇集了祖冲之父子的数学研究成果。这本书内容深奥,以至“学官莫能究其深奥,故废而不理”。《缀术》在唐代被收入《算经十书》,成为唐代国子监算学课本,当时学习《缀术》需要四年的时间,可见《缀术》的艰深。《缀术》曾经传至朝鲜,但到北宋时这部书就已轶失,直到现在还有待考察。

《隋书·经籍志》录有《长水校尉祖冲之集》五十一卷,但现已遗佚。散见于各种史籍记载的还有以下著作:

 

《安边论》,佚。

《述异记》十卷,佚。

《易老庄义释》,佚。

《论语孝经注》,佚。

《缀术》六卷,佚。

《九章算术义注》九卷,佚。

祖冲之所制的指南车

《重差注》一卷,佚。

《大明历》

《上大明历表》

《驳议》

《开立圆术》

 

祖冲之生平著作很多,内容也是多方面的。在数学方面,所著《缀术》一书,是著名的“算经十书”之一,被唐代国子监列为算学课本,规定学习四年,惜已失传。在天文历法方面,他编制成《大明历》,并为大明历写了“驳议”。在古代典籍的注释方面,祖冲之有《易义》、《老子义》、《庄子义》、《释论语》、《释孝经》等著作,但亦皆失传。文学作品方面他著有《述异记》,在《太平御览》等书中可以看到这部著作的片断。

祖冲之求圆周率

祖冲之的成就不仅限于自然科学方面,他还精通乐理.对于音律很有研究。

祖冲之又著有《易义》《老子义》《庄子义》《释论语》等关于哲学的书籍,都已经失传了。

 

子承父业

 

祖冲之的儿子祖暅,也是一位杰出的数学家,他继承他父亲的研究,创立了球体体积的正确算法。在天文方面,他也能继承父业。他曾著《天文录》三十卷,《天文录经要诀》一卷,可惜这些书都失传了。他父亲制定的《大明历》,就是经他三次向梁朝政府建议,才被正式采用的。他还制造过记时用的漏壶造得很准确,并且作过一部《漏刻经》。

祖冲之还与他的儿子祖暅一起,用巧妙的方法解决了球体体积的计算。他们当时采用的一条原理是:“幂势既同,则积不容异。”意即:位于两平行平面之间的两个立体,被任一平行于这两平面的平面所截,如果两个截面的面积恒相等,则这两个立体的体积相等。在西方被称为“卡瓦列利原理”,但这是在祖冲之以后一千多年才由意大利数学家卡瓦列利(Cavalieri)发现的。为了纪念祖氏父子发现这一原理的重大贡献,数学上也称这一原理为“祖暅原理”。

祖暅原理

 

祖暅原理

 

祖暅原理也就是“等积原理”。它是由我国南北朝杰出的数学家、祖冲之的儿子祖暅首先提出来的。祖暅原理的内容是:夹在两个平行平面间的两个几何体,被平行于这两个平行平面的平面所截,如果截得两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等。

祖冲之的儿子祖暅也是中国古代著名数学家。小时习学家传的学业,深入研究的十分精细,也有灵巧的心思。技艺达到神妙的境地,就是古代传说中的鲁班和倕(传说为舜时的巧匠)这样的巧匠也难以超过他。当他思考到深入之处时,雷霆之声也难以入耳。曾经在走路时遇到仆射徐勉,头竟撞到了徐勉身上,徐勉呼叫他才觉察到他的存在。他的父亲所改定的何承天的历法当时尚未施行,梁武帝天监初年,祖暅之又重新加以修订,在这时才开始施行。职位至太舟卿。

祖冲之与圆周率纪念邮票

其它

 

史料

 

《南史·祖冲之传》 卷七十二 列传第六十二

祖冲之字文远,范阳遒人也。曾祖台之,晋侍中。祖昌,宋大匠卿。父朔之,奉朝请。

冲之稽古,有机思,宋孝武使直华林学省,赐宅宇车服。解褐南徐州从事、公府参军。

始元嘉中,用何承天所制历,比古十一家为密。冲之以为尚疏,乃更造新法,上表言之。孝武令朝士善历者难之,不能屈。会帝崩不施行。

祖冲之中学

历位为娄县令,谒者仆射。初,宋武平关中,得姚兴指南车,有外形而无机杼,每行,使人于内转之。升明中,齐高帝辅政,使冲之追修古法。冲之改造铜机,圆转不穷,而司方如一,马钧以来未之有也。时有北人索驭驎者亦云能造指南车,高帝使与冲之各造,使于乐游苑对共校试,而颇有差僻,乃毁而焚之。晋时杜预有巧思,造欹器,三改不成。永明中,竟陵王子良好古,冲之造欹器献之,与周庙不异。文惠太子在东宫,见冲之历法,启武帝施行。文惠寻薨又寝。

转长水校尉,领本职。冲之造安边论,欲开屯田,广农殖。建武中,明帝欲使冲之巡行四方,兴造大业,可以利百姓者,会连有军事,事竟不行。

冲之解锺律博塞,当时独绝,莫能对者。以诸葛亮有木牛流马,乃造一器,不因风水,施机自运,不劳人力。又造千里船,于新亭江试之,日行百馀里。于乐游苑造水碓磨,武帝亲自临视。又特善算。永元二年卒,年七十二。着易老庄义,释论语、孝经,注九章,造缀述数十篇。子暅之。

祖冲之中学

暅之字景烁,少传家业,究极精微,亦有巧思。入神之妙,般、倕无以过也。当其诣微之时,雷霆不能入。尝行遇仆射徐勉,以头触之,勉呼乃悟。父所改何承天历时尚未行,梁天监初,暅之更修之,于是始行焉。位至太舟卿。

暅之子皓,志节慷慨,有文武才略。少传家业,善算历。大同中为江都令,后拜广陵太守。

侯景陷台城,皓在城中,将见害,乃逃归江西。百姓感其遗惠,每相蔽匿。广陵人来嶷乃说皓曰:“逆竖滔天,王室如毁,正是义夫发愤之秋,志士忘躯之日。府君荷恩重世,又不为贼所容。今逃窜草间,知者非一,危亡之甚,累棋非喻。董绍先虽景之心腹,轻而无谋,新克此州,人情不附,袭而杀之,此一壮士之任耳。今若纠率义勇,立可得三二百人。意欲奉戴府君,剿除凶逆,远近义徒,自当投赴。如其克捷,可立桓、文之勋;必天未悔祸,事生理外,百代之下,犹为梁室忠臣。若何?”皓曰:“仆所愿也,死且甘心。”为要勇士耿光等百余人袭杀景兖州刺史董绍先,推前太子舍人萧勉为刺史,结东魏为援。驰檄远近,将讨景。景大惧,即日率侯子鉴等攻之。城陷,皓见执,被缚射之,箭遍体,然后车裂以徇。城中无少长,皆埋而射之。

 

评价

 

数学家祖冲之在天文、历法、数学以及机械制造等方面的辉煌成就,充分表现了我国古代科学的高度发展水平。祖冲之,之所以能够取得这样辉煌的成就,并不是偶然的。首先,当时社会生产正在逐步发展,需要有一定的科学成就来配合前进,因而就推动了科学的进步,祖冲之就在这时候取得了天文、数学和器械制造等方面的成绩。其次,从上古到这时候,在千百年的长时期中,已积累了不少科学成果,祖冲之就在前人创造的基础上做出了他的成绩。至于祖冲之个人的认真学习,刻苦钻研,不迷信古人,不畏惧守旧势力,不怕斗争,不避艰难,自然也都是取得杰出成就的重要原因。

紫金山天文台

祖冲之不仅是我国历史上杰出的科学家,而且在世界科学发展史上也有崇高的地位。祖冲之创造“密率”,是世界闻名的。我们应该纪念像祖冲之这样的科学家,珍视他们的宝贵遗产。

 

祖冲之星

 

1964年11月9日为了纪念祖冲之对我国和世界科学文化作出的伟大贡献,紫金山天文台将1964年发现的,国际永久编号为1888的小行星命名为“祖冲之星”。

 

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