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欧几里得

Eukleides of Alexandria

亚历山大里亚的欧几里得(希腊文:Ευκλειδης ,约公元前325年—公元前265年),古希腊数学家,被称为“几何之父”。他活跃于托勒密一世(公元前323年-公元前283年)时期的亚历山大里亚,他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础,提出五大公设,欧几里得几何,被广泛的认为是历史上最成功的教科书。欧几里得也写了一些关于透视、圆锥曲线、球面几何学及数论的作品。

 

生平资料

 

欧几里得(Euclid)是希腊文Εὐκλείδης 的英化名字,意思是“好的名誉”。今日关于欧几里得的生平,我们知道的很少,而大部份关于欧几里得的资料都是来自普洛克努斯及帕普斯的评论。欧几里得生前活跃于亚历山大图书馆,而且很有可能曾在柏拉图学院学习。直到现在,我们都无法得知欧几里得的生卒日期、地点和细节。

直到现在,我们还没有找到任何欧几里得在世时期所画的画像,所以现存的欧几里得画像都是出于画家的想像。此外,一些中世纪时期的作家经常把欧几里得与麦加拉的欧几里得(一位受苏格拉底影响的哲学家)弄混。

位于牛津大学自然历史博物馆的欧几里得石像

 

学术成就

 

欧几里得是古希腊最负盛名、最有影响的数学家之一,他也是亚历山大里亚学派的成员。欧几里得写过一本书,书名为《几何原本》(Elements)共有13卷。这一著作对于几何学、数学和科学的未来发展,对于西方人的整个思维方法都有极大的影响。《几何原本》的主要对象是几何学,但它还处理了数论、无理数理论等其他课题,例如著名的欧几里得引理和求最大公因子的欧几里得算法。欧几里得使用了公理化的方法。公理(Axioms) 就是确定的、不需证明的基本命题,一切定理都由此演绎而出。在这种演绎推理中,每个证明必须以公理为前提,或者以被证明了的定理为前提。这一方法后来成了建立任何知识体系的典范,在差不多在二千年间,被奉为必须遵守的严密思维的范例。《几何原本》是古希腊数学发展的顶峰。欧几里得将公元前七世纪以来希腊几何积累起来的丰富成果,整理在严密的逻辑系统之中,使几何学成为一门独立的、演绎的科学。

One of the oldest surviving fragments of Euclid's Elements, found at Oxyrhynchus and dated to circa AD 100. The diagram accompanies Book II, Proposition 5.

 

著作

 

除了《几何原本》之外,欧几里得还有另外五本著作流传至今。它们与《几何原本》一样,内容都包含定义及证明。

• 《已知数》(Data)指出若几何难题图形中的已知元素,内容与《几何原本》的前四卷有密切关系。

• 《圆形的分割》(On divisions of figures)现存拉丁文本,论述用直线将已知图形分为相等的部分或成比例的部分,内容与希罗(Heron of Alexandria)的作品相似。

• 《反射光学》(Catoptrics)论述反射光在数学上的理论,尤其论述形在平面及凹镜上的图像。可是有人置疑这本书是否真正出自欧几里得之手,它的作者可能是提奥(Theon of Alexandria)。

• 《现象》(Phenomena)是一本关于球面天文学的论文,现存希腊文本。这本书与奥托吕科斯(Autolycus of Pitane)所写的 On the Moving Sphere 相似。

• 《光学》(Optics)早期几何光学著作之一,现存希腊文本。这本书主要研究透视问题,叙述光的入射角等于反射角等。

欧几里得

 

伟大的古希腊数学家

 

学园便是全部的生活

 

欧几里得(Euclid)是古希腊著名数学家、欧氏几何学的开创者。欧几里得生于雅典,当时雅典就是古希腊文明的中心。浓郁的文化气氛深深地感染了欧几里得,当他还是个十几岁的少年时,就迫不及待地想进入“柏拉图学园”学习。

一天,一群年轻人来到位于雅典城郊外林荫中的“柏拉图学园”。只见学园的大门紧闭着,门口挂着一块木牌,上面写着:“不懂数学者,不得入内! ”这是当年柏拉图亲自立下的规矩,为的是让学生们知道他对数学的重视,然而却把前来求教的年轻人给闹糊涂了。有人在想,正是因为我不懂数学,才要来这儿求教的呀,如果懂了,还来这儿做什么?正在人们面面相觑,不知是退、是进的时候,欧几里得从人群中走了出来,只见他整了整衣冠,看了看那块牌子,然后果断地推开了学园大门,头也没有回地走了进去。

“柏拉图学园”是柏拉图40岁时创办的一所以讲授数学为主要内容的学校。在学园里,师生之间的教学完全通过对话的形式进行,因此要求学生具有高度的抽象思维能力。数学,尤其是几何学,所涉及对象就是普遍而抽象的东西。它们同生活中的实物有关,但是又不来自于这些具体的事物,因此学习几何被认为是寻求真理的最有效的途径。柏拉图甚至声称:“上帝就是几何学家。”这一观点不仅成为学园的主导思想,而且也为越来越多的希腊民众所接受。人们都逐渐地喜欢上了数学,欧几里得也不例外。他在有幸进入学园之后,便全身心地沉潜在数学王国里。他潜心求索,以继承柏拉图的学术为奋斗目标,除此之外,他哪儿也不去,什么也不干,熬夜翻阅和研究了柏拉图的所有著作和手稿,可以说,连柏拉图的亲传弟子也没有谁能像他那样熟悉柏拉图的学术思想、数学理论。经过对柏拉图思想的深入探究,他得出结论:图形是神绘制的,所有一切现象的逻辑规律都体现在图形之中。因此,对智慧训练,就应该从图形为主要研究对象的几何学开始。他确实领悟到了柏拉图思想的要旨,并开始沿着柏拉图当年走过的道路,把几何学的研究作为自己的主要任务,并最终取得了世人敬仰的成就。

Construction of a dodecahedron basing on a cube.

 

几何学说之大成

 

最早的几何学兴起于公元前7世纪的古埃及,后经古希腊等人传到古希腊的都城,又借毕达哥拉斯学派系统奠基。在欧几里得以前,人们已经积累了许多几何学的知识,然而这些知识当中,存在一个很大的缺点和不足,就是缺乏系统性。大多数是片断、零碎的知识,公理与公理之间、证明与证明之间并没有什么很强的联系性,更不要说对公式和定理进行严格的逻辑论证和说明。因此,随着社会经济的繁荣和发展,特别是随着农林畜牧业的发展、土地开发和利用的增多,把这些几何学知识加以条理化和系统化,成为一整套可以自圆其说、前后贯通的知识体系,已经是刻不容缓,成为科学进步的大势所趋。欧几里得通过早期对柏拉图数学思想,尤其是几何学理论系统而周详的研究,已敏锐地察觉到了几何学理论的发展趋势。他下定决心,要在有生之年完成这一工作。为了完成这一重任,欧几里得不辞辛苦,长途跋涉,从爱琴海边的雅典古城,来到尼罗河流域的埃及新埠—亚历山大城,为的就是在这座新兴的,但文化蕴藏丰富的异域城市实现自己的初衷。在此地的无数个日日夜夜里,他一边收集以往的数学专著和手稿,向有关学者请教,一边试着著书立说,阐明自己对几何学的理解,哪怕是尚肤浅的理解。经过欧几里得忘我的劳动,终于在公元前300年结出丰硕的果实,这就是几经易稿而最终定形的《几何原本》一书。这是一部传世之作,几何学正是有了它,不仅第一次实现了系统化、条理化,而且又孕育出一个全新的研究领域——欧几里得几何学,简称欧氏几何。

Euclid's construction of a regular dodecahedron.

 

不朽的平面几何学著作

 

《几何原本》是一部集前人思想和欧几里得个人创造性于一体的不朽之作。传到今天的欧几里得著作并不多,然而我们却可以从这部书详细的写作笔调中,看出他真实的思想底蕴。

全书共分13卷。书中包含了5条“公理”、5条“公设”、23个定义和467个命题。在每一卷内容当中,欧几里得都采用了与前人完全不同的叙述方式,即先提出公理、公设和定义,然后再由简到繁地证明它们。这使得全书的论述更加紧凑和明快。而在整部书的内容安排上,也同样贯彻了他的这种独具匠心的安排。它由浅到深,从简至繁,先后论述了直边形、圆、比例论、相似形、数、立体几何以及穷竭法等内容。其中有关穷竭法的讨论,成为近代微积分思想的来源。仅仅从这些卷帙的内容安排上,我们就不难发现,这部书已经基本囊括了几何学从公元前7世纪的古埃及,一直到公元前4世纪——欧几里得生活时期——前后总共400多年的数学发展历史。这其中,颇有代表性的便是在第1卷到第4卷中,欧几里得对直边形和圆的论述。正是在这几卷中,他总结和发挥了前人的思维成果,巧妙地论证了毕达哥拉斯定理,也称“勾股定理”。即在一直角三角形中,斜边上的正方形的面积等于两条直角边上的两个正方形的面积之和。他的这一证明,从此确定了勾股定理的正确性并延续了2000多年。《几何原本》是一部在科学史上千古流芳的巨著。它不仅保存了许多古希腊早期的几何学理论,而且通过欧几里得开创性的系统整理和完整阐述,使这些远古的数学思想发扬光大。它开创了古典数论的研究,在一系列公理、定义、公设的基础上,创立了欧几里得几何学体系,成为用公理化方法建立起来的数学演绎体系的最早典范。照欧氏几何学的体系,所有的定理都是从一些确定的、不需证明而礴然为真的基本命题即公理演绎出来的。在这种演绎推理中,对定理的每个证明必须或者以公理为前提,或者以先前就已被证明了的定理为前提,最后做出结论。这一方法后来成了用以建立任何知识体系的严格方式,人们不仅把它应用于数学中,也把它应用于科学,而且也应用于神学甚至哲学和伦理学中,对后世产生了深远的影响。尽管欧几里得的几何学在差不多2000年间,被奉为严格思维的范例,但实际上它并非那么完美。人们发现,一些被欧几里得作为不证自明的公理,却难以自明,越来越遭到怀疑。比如“第五平行公设”,欧几里得在《几何原本》一书中断言:“通过已知外一已知点,能作且仅能作一条直线与已知直线平行。 ”这个结果在普通平面当中尚能够得到经验的印证,那么在无处不在的鐾鸱球面之中(地球就是个大曲面)这个平行公理却是不成立的。俄国人罗伯切夫斯基和德国人黎曼由此创立了球面几何学,即非欧几何学。

欧几里得

 

求知无坦途

 

欧几里得不仅是一位学识渊博的数学家,同时还是一位有“温和仁慈的蔼然长者 ”之称的教育家。在著书育人过程中,他始终没有忘记当年挂在“柏拉图学园”门口的那块警示牌,牢记着柏拉图学派自古承袭的严谨、求实的传统学风。他对待学生既和蔼又严格,自己却从来不宣扬有什么贡献。对于那些有志于穷尽数学奥秘的学生,他总是循循善诱地予以启发和教育,而对于那些急功近利、在学习上不肯刻苦钻研的人,则毫不客气地予以批评。在柏拉图学派晚期导师普罗克洛斯的《几何学发展概要》中,就记载着这样一则故事,说的是数学在欧几里得的推动下,逐渐成为人们生活中的一个时髦话题(这与当今社会截然相反),以至于当时托勒密国王也想赶这一时髦,学点儿几何学。虽然这位国王见多识广,但欧氏几何却在他的智力范围之外。于是,他问欧几里得“学习几何学有没有什么捷径可走?”,欧几里得严肃地说:“抱歉,陛下!学习数学和学习一切科学一样,是没有什么捷径可走的。学习数学,人人都得独立思考,就像种庄稼一样,不耕耘是不会有收获的。在这一方面,国王和普通老百姓是一样的。” 从此,“在几何学里,没有专为国王铺设的大道。”这句话成为千古传诵的学习箴言。

欧几里得是人类科学思想史上的一盏指路明灯。他第一次使数学理论系统化,并使几何学逐渐成为一门独立发展的正式学科体系。他对数学史上的许多疑难命题和定理做了开创性的论证和解释,为数学的发展打下了坚实的理论基础,而他在理论中存在的缺憾,也成为后人攀越智慧高峰不可缺少的台阶。这一正一反都推动了人类数学思想的进步,从而为后来人类能更好、更深刻的认识自然界提供了更为有效的工具。因此,后人尊称他为“几何学之父”,以铭记他在数学思想发展中的卓越贡献。

我们已无法考察欧几里得的生世,只知道他给这个世界上留了一本书与两句话,其中一句话是面对一位青年关于几何学的问题,这个青年问:你的几何学有何用处。他的回答是:“请给这个小伙子3个硬币,因为他想从几何学里得到实际利益。”由此可知,欧几里得也是一位伟大的哲学家!

拉斐尔名画《雅典学派》中的欧几里得.

 

欧式几何学与现代科学

 

杨振宁曾发表演说,认为现代科学没有发生在中国而是发生在西方,正是因为《几何原本》和《周易》所产生的影响。这种影响直接导致了两种思维方式、两种文化。杨振宁的讲演曾经引起力挺《周易》学者的强烈不满。然而同样是中华文化的支持者聂文涛却认为,欧几里得所导致的直观思维导致西方学者热衷于解剖研究和物体运动轨迹研究,因此会有两部影响世界的图书问世,这就是《心血运动论》和《天体运行论》。然而,东方思维下将会更有利于对生命的尊重和理解,因此一旦与现代科技相融合则必然会引发生命科学领域的巨大发展。

总之,欧几里得所产生的影响超越了时间和空间,并将在可以预见的未来中不断发生影响。

 

欧几里得算法的概述

 

欧几里德算法又称辗转相除法,用于计算两个整数a,b的最大公约数。其计算原理依赖于下面的定理: 定理:gcd(a,b) = gcd(b,a mod b) 证明:a可以表示成a = kb + r,则r = a mod b 假设d是a,b的一个公约数,则有 d|a, d|b,而r = a - kb,因此d|r 因此d是(b,a mod b)的公约数 假设d 是(b,a mod b)的公约数,则 d | b , d |r ,但是a = kb +r 因此d也是(a,b)的公约数 因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的,其最大公约数也必然相等,得证。

 

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